如何求sin18度？

Question

如题所述

Answer 1

首先需要计算出sin18º
令：18º=A， 5*18º=90º， 5A=90º 3A+2A=90º
3A=90º-2A
sin3A=sin(90º-2A)=cos2A
(左边三倍角公式，右边二倍角公式）
3sinA-4(sinA)^3=1-2(sinA)^2
4(sinA)^3-2(sinA)^2-3sinA+1=0
令:x=sinA
4x^3-2x^2-3x+1=0
(x-1)(4x^2+2x-1)=0
A为锐角，x=sinA 0<x<1
所以4x^2+2x-1=0
x=(-2±√20)/8=(-1±√5)/4
x=(-1+√5)/4
即sinA=sin18º=(-1+√5)/4
cos18º 可求
sin54º=(3*18º)=3sin18º-4(sin18º)^3 可求；
cos54º可求。
如果不计算cos54º,也可以。sin54ºcos54º=(1/2)sin108º=(1/2)cos18º.代入即可计算出最后结果。
另外，sin3A=(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA
=2sinAcosAcosA+[1-2(sinA)^2]siA
=2sinA[1-(sinA)^2]+sinA-2(sinA)^2
=2sinA-2(sinA)^3+sinA-2(sinA)^3
=3sinA-4(sinA)^3
即sin3A=3sinA-4(sinA)^3
同样可以证明：
cos3A=-3cosA+4(cosA)^3
留给你作为练习了。
请记住这里的三倍角公式及证明。