首先，证明矩阵A的逆是对称阵：
因为矩阵A是正定的，所以矩阵A对称，即A^T=A；
又由于（A⁻¹）^T=（A^T）⁻¹；
所以（A⁻¹）^T=A⁻¹；故矩阵A逆是对称阵。
然后，证明矩阵A的逆是正定矩阵：
因为矩阵A是正定的则存在x属于R，且x不等于0，使得x^TAx>0；
对于x^TA⁻¹x=x^TA⁻¹AA⁻ ¹x=x^T（A⁻¹）^T AA⁻¹ x=(A⁻¹x)^TA(A⁻¹x)，且A⁻¹x不等于0；
故(A⁻¹x)^TA(A⁻¹x)>0，所以x^T A⁻¹ x>0，则A⁻¹是正定矩阵。
扩展资料：
正定矩阵有以下性质：
1、正定矩阵的行列式恒为正；
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
参考资料来源：百度百科-正定矩阵