设随机变量X和CY相互独立且都满足标准正态分布，Z=X^2+Y ^2,求Z的概率密度函数，想知道我的做法为什么错

Question

如题所述

Answer 1

z的分布叫做瑞利（rayleigh）分布,具体求法：
f(x,y)=[1/(2πσ^2)]*e^-[(x^2+y^2)/2σ^2]
当z<0时，显然有f(z)=0
当z>=0时，有：
f(z)=∫∫f(x,y)dxdy,其中积分区域为x^2+y^2<=z^2
做变换x=r*sint,y=r*cost，则
f(z)=∫{0到2π}dt
∫{0到z})
[1/(2πσ^2)]*e^-[r^2/2σ^2]
dr
=∫{0到z})
e^-[r^2/2σ^2]
d(r^2/2σ^2)
=1-e^(-z^2/2σ^2)
接下来求概率密度就是求导，得：
f(z)=f'(z)=(z/σ^2)*e^(-z^2/2σ^2)
(z>0)