曲面a√x+b√y+c√z=1,(a,b,c>0)的切平面,使之与三坐标轴所围成的体积最大

Question

如题所述

Answer 1

F(x，y，z)=a√x+b√y+c√z-1;(a、b、c>0；x、y、z≧0)
∂F/∂x=a/2√x；∂F/∂y=b/2√y；∂F/∂z=c/2√z；
设M(x₁，y₁，z₁)是曲面F上的任意一点，那么过M的切平面方程为：
[a/2√x₁](x-x₁)+[b/2√y₁](y-y₁)+[c/2√z₁)(z-z₁)=0
即[a/2√x₁]x+[b/2√y₁]y+[c/2√z₁)-(1/2)(a√x₁+b√y₁+c√z₁)=0
将a√x₁+b√y₁+c√z₁=1代入得切面方程为：[a/2√x₁]x+[b/2√y₁]y+[c/2√z₁)-(1/2)
化简得(a/√x₁)x+(b/√y₁)y+(c/√z₁)z-1=0...........①
令z=0，得切面与xoy坐标平面的交线方程为：(a/√x₁)x+(b/√y₁)y=1
此交线与ox，oy轴的交点坐标分别为：A((√x₁)/a，0，0)；B(0，√y₁)/b，0);
由OAB所组成的三角形的面积S=(√x₁y₁)/(2ab)；
再令①中的x=0，y=0，即得切面有三坐标平面所围成的锥体的高h=(√z₁)/c;
故锥体的体积V=(√x₁y₁z₁)/(6abc)；当x₁=y₁=z₁=1/(a+b+c)²æ—¶ï¼Œä½“积V获得最大值：
Vmax=[1/(a+b+c)³]/(6abc)=1/[6abc(a+b+c)³]