用坐标法证明三角形的三条中线交于一点，要详细过程

Question

如题所述

Answer 1

设A(0,0),B(2,0),C(0,4)

AB、BC、AC中点分别为E(1,0),F(1,2),G(0,2)

三条中线分别是：

AF：(y-0)/(x-0)=(2-0)/(1-0)

y=2x

BG：(y-0)/(x-2)=(2-0)/(0-2)

y=-x+2

CE：(y-0)/(x-1)=(4-0)/(0-1)

y=-4x+4

AF与BG交点：(2/3,4/3)

BG与CE交点：(2/3,4/3)

AF与CE交点：(2/3,4/3)

可见，三角形三条中线交于同一点。

重心的性质

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3）。

推论：由性质1可知GA+GB+GC=0

向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO

Answer 2

用向量法：
解：设直角三角形中，角c为直角。
设三点a，b，c坐标分别为（a1,b1）,(a2,b2),(a3,b3).设ab中点d.
向量ab=(a2-a1,b2-b1),
所以d（0.5(a1+a2),0.5(b1+b2)）.
向量cd=(0.5(a1+a2)-a3,0.5(b1+b2)-b3).
所以cd的长度为(0.5(a1+a2)-a3)^2+(0.5(b1+b2)-b3)^2=1/4a1^2+1/4a2^2+1/2a1a2+a3^2-a1a3-a2a3+1/4b1^2+1/4b2^2+1/2b1b2+b3^2-b1b3-b2b3......(1)
因为ac垂直于bc,
所以向量ac与向量bc的数量积为0.
向量ac=(a3-a1,b3-b1),向量bc=(a3-a2,b3-b2),
它们的数量积为0
则：
a3^2-a2a3-a1a3+a1a2+b3^2-b2b3-b1b3+b1b2=0......(2),
由(2)代入(1),(1)可化为：
1/4a1^2+1/4a2^2-1/2a1a2+1/4b1^2+1/4b2^2-1/2b1b2=ad的长度的平方，证毕。

Answer 3

设A(0,0),B(2,0),C(0,4)
AB、BC、AC中点分别为E(1,0),F(1,2),G(0,2)
三条中线分别是：
AF：(y-0)/(x-0)=(2-0)/(1-0)
y=2x
BG：(y-0)/(x-2)=(2-0)/(0-2)
y=-x+2
CE：(y-0)/(x-1)=(4-0)/(0-1)
y=-4x+4
AF与BG交点：(2/3,4/3)
BG与CE交点：(2/3,4/3)
AF与CE交点：(2/3,4/3)
可见，三角形三条中线交于同一点。
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