已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的

Question

已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明∠ABC=∠D， ∠BAE=∠DAB可得△ABE∽△ADB （2）2   （3）证明△FAO是Rt△，即OA⊥FA，所以直线ＦＡ与⊙O相切

试题分析：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C，  ∵∠C=∠D， ∴∠ABC=∠D，  又∵∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB  （2）解：∵△ABE∽△ADB， ∴   ∴AB 2 =AD?AE=（AE+ED）?AE=（2+4）×2=12，  ∴AB=2   （3）解：直线ＦＡ与⊙O相切  理由如下：连接OA ∵ BD是⊙O的直径 ∴∠BAD=90° 在Rt△BAD中，AD= AE+ED=2+4=6，由（2）得AB=2 ∴有BD= =   ∴OB=OD= BD=2 ∴BF=OB= 2 在△FAO中，BF=OB=AB＝ FO= 2 ∴△FAO是Rt△，即OA⊥FA  ∴直线ＦＡ与⊙O相切  点评：直线与圆相切，相似三角形 点评：本题考查直线与圆相切，平行四边形，掌握直线与圆相切的概念和性质，并能判断直线与圆相切，掌握相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似