因为A为n阶可逆实矩阵，构造非退化的线性变换Y=AX
则对任意的X≠0,必有Y≠0,
令Y=(y1,y2,...,yn)T
则XT(ATA)X=(XTAT)(AX)=(AX)T(AX)=YTY=y1^2+y2^2+...+yn^2>0
由
正定矩阵的定义即知ATA是正定矩阵。
正定矩阵是一种
实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。
在
线性代数里，正定矩阵
(positive
definite
matrix)
有时会简称为
正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
正定矩阵有以下性质：
（1）正定矩阵的
行列式恒为正；
（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
（3）若A是正定矩阵，则A的
逆矩阵也是正定矩阵；
（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；
（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。