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第1个回答 2009-12-31
1.Let t=x^(1/4) x=t^4 then dx=4t^3dt
∫1/[x^(1/2)+x^(1/4)]dx
=∫4t^3dt/(t^2+t)=∫[4t-4+4/(t+1)]dt
=2t^2-4t+4In|t+1|+C
=2x^(1/2)-4x^(1/4)+4In[x^(1/4)+1]+C
2.Let t=[(x+1)/(x-1)]^(1/2)
then x=(t^2+1)/(t^2-1) dx=-4tdt/(t^2-1)^2
∫[(x+1)/(x-1)]^(1/2)dx/x
=∫-4t^2dt/(t^4-1)
=-2∫[1/(t^2-1)+1/(t^2+1)]dt
=∫[1/(t+1)-1/(t-1)-2/(t^2+1)]dt
=In|(t+1)/(t-1)|-2arctant+C'
=2In[(x+1)^(1/2)+(x-1)^(1/2)]-2arctan{[(x+1)/(x-1)]^(1/2)}+C
3.∫xdx/(x^2-x+1)^(1/2)
=∫(x-1/2+1/2)dx/(x^2-x+1)^(1/2)
=(x^2-x+1)^(1/2)+(1/2)In[x-1/2+(x^2-x+1)^(1/2)]+C
∫1/[x^(1/2)+x^(1/4)]dx
=∫4t^3dt/(t^2+t)=∫[4t-4+4/(t+1)]dt
=2t^2-4t+4In|t+1|+C
=2x^(1/2)-4x^(1/4)+4In[x^(1/4)+1]+C
2.Let t=[(x+1)/(x-1)]^(1/2)
then x=(t^2+1)/(t^2-1) dx=-4tdt/(t^2-1)^2
∫[(x+1)/(x-1)]^(1/2)dx/x
=∫-4t^2dt/(t^4-1)
=-2∫[1/(t^2-1)+1/(t^2+1)]dt
=∫[1/(t+1)-1/(t-1)-2/(t^2+1)]dt
=In|(t+1)/(t-1)|-2arctant+C'
=2In[(x+1)^(1/2)+(x-1)^(1/2)]-2arctan{[(x+1)/(x-1)]^(1/2)}+C
3.∫xdx/(x^2-x+1)^(1/2)
=∫(x-1/2+1/2)dx/(x^2-x+1)^(1/2)
=(x^2-x+1)^(1/2)+(1/2)In[x-1/2+(x^2-x+1)^(1/2)]+C
第2个回答 2009-12-31
楼主，积分符号我不懂怎么写，我这里只能说一下大概的思路和关键点。
第一题，做t=4次根号x，即x=t的四次方
可以把积分变为∫4t平方/(t+1)dt,分子配方也好，配平方差也好，可以化成
4[(t-1)+1/(t+1)],积分符号我没写出来，剩下的步骤就简单了，最后不要忘了回带。
第二题，做代换t=根号下[（x+1)/(x-1)]
积分变为-4t平方/(t平方+1）·（t平方-1),这个时候分离,待定系数法也好,直接观察也好,变成-2[1/(t平方+1）+1/(t平方-1）]
剩下的步骤就不说了，注意一下1/(t平方-1)是可以继续分离的
第三题，将分母根号中的式子配方，得到（x-1/2)平方+3/4
分子随着做这样的变化：x-1/2+1/2
分开，第一个部分分子是x-1/2，分母没变，这个部分可以直接积分出来，
得 （1/2）·根号下[(x-1/2)平方+3/4]
第二个部分，分子是1/2，这个时候，把（x-1/2）看成一个整体，注意到3/4的存在，做这样的变化：(x-1/2)平方=3/4·tanα平方，用三角函数求出积分，后面的步骤简单了，最后注意回带
第一题，做t=4次根号x，即x=t的四次方
可以把积分变为∫4t平方/(t+1)dt,分子配方也好，配平方差也好，可以化成
4[(t-1)+1/(t+1)],积分符号我没写出来，剩下的步骤就简单了，最后不要忘了回带。
第二题，做代换t=根号下[（x+1)/(x-1)]
积分变为-4t平方/(t平方+1）·（t平方-1),这个时候分离,待定系数法也好,直接观察也好,变成-2[1/(t平方+1）+1/(t平方-1）]
剩下的步骤就不说了，注意一下1/(t平方-1)是可以继续分离的
第三题，将分母根号中的式子配方，得到（x-1/2)平方+3/4
分子随着做这样的变化：x-1/2+1/2
分开，第一个部分分子是x-1/2，分母没变，这个部分可以直接积分出来，
得 （1/2）·根号下[(x-1/2)平方+3/4]
第二个部分，分子是1/2，这个时候，把（x-1/2）看成一个整体，注意到3/4的存在，做这样的变化：(x-1/2)平方=3/4·tanα平方，用三角函数求出积分，后面的步骤简单了，最后注意回带
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