怎样求微分方程的通解？

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

每次都有一个任意常数，等式两边求不定积分：y＇＝x＾2＋C1，再对等式两边求不定积分：y＝（x＾3）／3＋C1x＋C2。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

扩展资料：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

参考资料来源：百度百科-通解

Answer 2

解：举例子，微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x