可相似对角化的矩阵不一定满秩对吧

Question

可相似对角化的矩阵不一定满秩对吧可以有特征值为0，既可以行数不等于0，可以线性相关
但是有一个条件叫必须存在n个线性无关特征向量，这个怎么理解呢？怎么体现在特征值上面呢？有没有比较直观一点的解释？
我知道普遍的方法是n-r（入E-A）来确定有几个线性无关特征向量，但是，一直不是很理解，若有线性相关的特征向量是个什么样的情况呢？特征向量不都是俩俩正交的么

Answer 1

特征值可以是0，对角化后不改变秩，所以不一定满秩。

|λE-A|可以解出n个特征值，这n个特征值可以是多重的（二重的算两个），特征值也可以为0（有0特征值时，|A|=0，也就是不是满秩的）。

如果n个特征值都不相同，那么必然有n个不相关的特征向量。也就是一定能对角化。

但是如果有多重的，那么那个多重的特征值，未必能有对应数目不相关的特征向量。例如有一个r重特征值，那么这个特征值能对应r个不相关特征向量，那么还是可对角化。但是这个r重特征值，未必能对应r个不相关特征向量。

扩展资料：

对角化的矩阵性质

1、对角矩阵都是对称矩阵；

2、对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；

3、单位矩阵In及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；

4、一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数λ的乘积：λI；

5、一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的特征值为a1, ..., an。而其特征向量为单位向量 e1, ..., en；

6、一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的行列式为a1...an的乘积；

7、矩阵 A 左乘一个对角矩阵 D，是分别用 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一行；

8、相似地，矩阵 A 右乘一个对角矩阵 D，是分别将 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一列；

9、对角矩阵之间的矩阵乘法运算，对角线元素相乘，仍为对角矩阵，自然此时满足乘法的交换律。

参考资料：百度百科-对角化

参考资料：百度百科-满秩矩阵

Answer 2

|λE-A|可以解出n个特征值，这n个特征值可以是多重的（二重的算两个），特征值也可以为0（有0特征值时，|A|=0，也就是不是满秩的）。
如果n个特征值都不相同，那么必然有n个不相关的特征向量。也就是一定能对角化。
但是如果有多重的，那么那个多重的特征值，未必能有对应数目不相关的特征向量。例如有一个r重特征值，那么这个特征值能对应r个不相关特征向量，那么还是可对角化。但是这个r重特征值，未必能对应r个不相关特征向量。追问

所以 可不可以对角化跟满不满秩没关系对吧

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Answer 3

特征向量是特征值对应的特征子空间的一组基，也就是(λE-A)x=0解空间中的非零解，是基础解系，所以一定是无关的，但只有当A是实对称矩阵，A的不同特征值对应的特征向量才正交，A的同一特征值对应的特征向量一般只是无关，并不正交。

Answer 4

特征值可以是0 对角化后不改变秩 所以不一定满秩