谁能告诉我连续，可微，可导之间的关系？弄不清楚

Question

谁们告诉我连续，可导，可微这三者之间的关系以及偏导数的连续，可导，可微之间的关系？可以再举个方便理解的例子吗？谢谢！

Answer 1

可微是指自变量增量\Delta x趋于0时,对应函数的增量\Delta y可以写成A*\Delta x+\Delta x的高阶无穷小,把其中线性的部分称为函数的微分.在一元函数中,可微和可导是等价的.
可积是可以求积分的意思,连续函数一定可以求不定积分,分段连续函数或者只含有有限个第一类间断点的函数可以求定积分,即达布和存在.当然不定积分能否用初等函数写出来就不一定了.
可导是指导数存在,即增量比值的极限是否存在.
连续指的是当自变量增量趋于0时,对应函数的增量也趋于0；体现在图形上是“不断”的,如果画图时不得不提起笔来,即“间断”的.
对一元函数,可导等价于可微,可微必连续,连续不一定可微,连续一定可积,可积不一定连续.
总结：这几个概念是高等数学或者说微积分中非常基本的概念,理解起来挺难,如果想弄清楚的话,第一位就要理解极限,第二位是要理解什么是无穷小,无穷小有什么用.

Answer 2

连续是一定可导的，但是可导并不一定能够连续。因为一个函数图形只要是连续的，处处有切线，所以一定可以求导，但是可以求导的，并不一定连续，比如分段函数。可微和可导应该是差不多的。

Answer 3

1、可导

即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。

如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：

（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数

2、连续

函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0)

定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。

3、可微
定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx
当x= x0时，则记作dy∣x=x0.

可微条件：
必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
4、可积函数定义

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

函数可积的充分条件

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

可积的必要条件：

被积函数在闭区间上有界。

总结：
对于一元函数：
函数连续 不一定 可导 例如y=|x|
可导 一定 连续 即连续是可导的必要不充分条件，可导是连续的充分不必要条件
函数

Answer 4

连续是指左右皆可导，可微是指可以求微分，可导是可以求导数。求微和求导的操作方式正好相反。连续是指左右皆可导，可微是指可以求微分，可导是可以求导数。求微和求导的操作方式正好相反。本回答被提问者采纳

Answer 5

连续是指左右皆可导，可微是指可以求微分，可导是可以求导数。求微和求导的操作方式正好相反。