什么是连续、什么是可导和可微？

Question

如题所述

Answer 1

连续可积可导可微的关系如下：

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

一元微积分里可微和可导是两个等价的概念，函数在某一点可微就是指在该点的导数存在。但是可积是指函数在某个区间上的定积分（和式极限）存在，而不是指其原函数是初等函数。一元微积分里可微和可导是两个等价的概念，函数在某一点可微就是指在该点的导数存在。但是可积是指函数在某个区间上的定积分（和式极限）存在，而不是指其原函数是初等函数。