高数 可微与可导与连续间的关系是什么？

Question

如题所述

Answer 1

一元函数，可导即可微，可微即可导。连续不一定可导，可导一定连续。

多元函数就复杂了，几乎没啥关联性。

连续不一定可导，可导也不一定连续

对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。

同理，

连续不一定可微，可微不一定连续

可导不一定可微，可微一定可导

只有一阶偏导存在且连续，才可微，仅仅存在，也不可微

但可微也不一定一阶偏导连续。举个例子

所以，可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。