证明lim根号下n的开n次方等于1

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：

先取对数ln，证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0。

lim( ln( n^(1/n) ) )  

= lim( [ln(n)] / n ) 

= lim ( [1/n] / 1 ) 

分子分母同时取导数 = lim (1/n) = 0  

所以：lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

n是趋于无穷的吧，
那么
n^(1/n)
=e^(1/n*lnn)
显然在n趋于无穷的时候，lnn也趋于无穷，
那么
lim(n趋于无穷)
lnn
/n
分子分母都对n求导
=lim(n趋于无穷)
1/n
=0
所以
n^(1/n)
=e^(1/n*lnn)
=e^0
=1本回答被提问者采纳

Answer 3

实际上可以得到
原极限=lim(n趋与无穷)
3
*
n次根号下[(1+2^n+3^n)/3^n]
=lim(n趋与无穷)
3
*
n次根号下[
(1/3)^(-n)+(2/3)^(-n)+1]
而显然n趋于无穷的时候，
n次根号下[(1/3)^(-n)+(2/3)^(-n)+1]趋于
1
于是原极限=
3