标准正态分布的分布函数

Question

如题所述

Answer 1

标准正态分布的分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是统计学和概率论中非常重要的概念，用于描述服从标准正态分布的随机变量的概率性质。

标准正态分布是指具有均值为0、标准差为1的正态分布。其概率密度函数为：

f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)

其中，x表示随机变量的取值，e是自然对数的底，π是圆周率。标准正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，且对称于均值为0的直线。

标准正态分布的分布函数Φ(x)定义如下：

Φ(x) = ∫(-∞, x) (1/√(2π)) * e^(-t^2/2) dt

即，Φ(x)表示随机变量小于或等于x的概率。也就是说，给定一个实数x，Φ(x)可以计算出标准正态分布中随机变量取值小于或等于x的概率。

由于标准正态分布的分布函数Φ(x)没有一个明确的解析表达式，通常需要通过数值计算或查表的方式获取具体的值。计算软件、统计软件以及标准正态分布表都提供了方便的工具来计算Φ(x)。

标准正态分布的分布函数的性质

1、当x趋近于负无穷时，Φ(x)趋近于0；

2、当x趋近于正无穷时，Φ(x)趋近于1；

3、Φ(0) = 0.5，即标准正态分布的分布函数在均值处取值为0.5；

4、标准正态分布的分布函数是单调递增的，即随着x的增大，Φ(x)也会增大；

5、可以通过标准正态分布表获得Φ(x)对应的近似值。表中给出了一系列标准正态分布的分布函数值。