怎么证明三角形三条中线交于一点

Question

如题所述

Answer 1

怎么证明三角形三条中线交于一点如下：

平面三角形的中线（median），是三角形每一个顶点（vertex）与对边中点（midpoint）的连线。三角形的三条中线，必然交于一个点，这个点称为三角形的重心（centroid）。所有平面三角形都有重心，且重心必然在三角形之内。要证明三条中线必然会交于三角形内的一个点（concorrency），可以用相似三角形的性质证明。

以下面这个三角形ABC为例子，M，N，P分别为边AB，AC和BC的中点。

先连接AP和BN两条中线，这两条线段会相较于一个点O。因为N和P分别为AC何BC的中点，那么两个中点的连线NP与边AB平行，且NP：AB = 1:2 。另外，因为NP和AB平行，于是有内错角∠BNP=∠ABN，∠BAP = ∠APN。又因为∠AOB与∠NOP为对顶角，所以两只角相等。

于是，△AOB与△NOP的三只内角均相等，因此这两个三角形是相似三角形，且3边比例为：

因此， O点刚好处于中线BN和AP的2/3处 。

相似地，中线CM和BN，相交于一个点G。与上一部分证明类似，连接M和N两个中点后，所得线段MN平行于三角形的边BC，且MN：BC = 1:2 。同样地，内错角∠NMC = ∠BCM，∠MNB = ∠NBC，因此△GMN和△GBC的三角内角都相等，于是，这两个三角形为相似三角形，且3边比例为：

因此， 得G点刚好位于中线BN的2/3处位置 ，所以G点和O点重合。因此，证明第三条中线CM，也刚好穿过AP和BN的重合点，且这个重合点O，刚好位于三条中线的2/3处。