为什么定积分求面积就是导数的原函数区间差？

Question

如题所述

Answer 1

基本原理（First Principle）求导不是有：

偷鸡魔够的把极限拿走，总之a≈b，然后调动方程得出：

这里先搁置一会，待会会用到。

现在来看看另一条函数g（x），现在曲线g（x）的面积被很多很多很细的矩形填满，首先我们设矩形贴x轴部分的宽为xn-xn-1，n是序号（0,1,2,3,4,..,n），入n=2，n-1=1。令高为g（xn）【注意这里我是把矩形靠右的边做高，有些是用矩形中分做高】，那么在众多矩形之中，其中一个的矩形面积为（xn-xn-1）g（xn），要是把一个个矩形都加起来，就是：

（x1-x0）（gx1）+（x2-x1）g（x2）+...（xk-xk-1）g（xk）

上述就是就是g（x）曲线下面任意区间的面积。

我现在告诉你其实

g（x）为f（x）的导数

所以，考虑到一开始由基本原理推导出的这个关系：

令a=x0，b=x1，得出

，这里其实就是x1为上限，x0为下限的积分了，这里已经解答了你所问的定积分求面积就是导数的原函数区间差的原因。

再详细一步推广：

来个更大的面积求和吧，比如从x0到x3的求和

下面你会发现有会有这样的情况：

前个括号和后个括号有可消项

到这里我想结论就非常明显了。

大概思想就是这样吧，我没学高数，这是听一个老师说的，我觉得这解答挺直观的，所以跟你分享一下。

追答

-

Answer 2

导函数是原函数在任意点的斜率构成的函数。
本质上就是△ y/△ x构成的。
对导函数求面积就相当于n个高为△ y/△ x，宽为△ x的矩形的面积的和。
也就成了N个△ y的和。
N个△ y的和到了原函数里就成了y的差值。
所以本质上对导函数求面积就是求原函数的差值。当然，会有一些限制之类的。
外加，需要数学证明。
证明高数书上有。
定积分求面积不懂的话，估计导数和导函数也不不太懂吧。。。
说白了，全都是极限思想的运用。

Answer 3

为什么定积分求面积就是导数的原函数区间差：

用定积分的几何意义，及牛顿莱布尼茨公式，可得。

Answer 4

y=f(x)的一个原函数y=g(x),则有dg(x)/dx=df(x)
求y=f(x)在区间[a,b]的面积，微分dx,df(x)
对所有dxdf(x)积分就是y=f(x)在区间上的面积，为∫[a,b]dxdf(x)=∫[a,b]dg(x)=g(b)-g(a)本回答被网友采纳

Answer 5

请看最开始高等数学书上定积分的引用部分

就是用来处理函数一段区间内的面积的

具体请看网页链接