为什么定积分可以求面积

Question

网上看了说因为积分的定义就是用极限下的 所以可以求 但我现在知识只能知道微分和几分间有特定计算规律 我没有办法把函数思想联系到几何上去 很疑惑为什么∫¹₂f(x)dx 就可以表示f(x)1到2的面积 我脑子里已有积分算出去就是原函数啊 为什么他就是面积！！！

Answer 1

你把它看成小矩形，那么f（x）代表高，dx代表宽，无数个小矩形面积加起来就是总面积了.定积分就是为了求不规则面积才诞生的

Answer 2

这个问题问得好，其实我觉得课本中讲定积分时一上来不应该把定积分的记号记为∫，定积分的定义是某类求和式的极限，但不定积分是求函数的原函数，初学者很难看出这两者有什么关系（我就想了好半天）。姑且先把定积分理解为和式极限，接下来课本中讲了定积分的性质及变上限积分的理论，注意在这部分课本的证明中没有用到任何不定积分（即求原函数）的内容。最后的微积分基本定理是关键，它是说一个函数在[a,b]的定积分（和式极限）可以表示为函数的原函数在a,b点函数的原函数值的差，而求原函数就是不定积分，所以将不定积分与定积分联系起来的是微积分基本定理。追问

没有理解 我还是没有明白为什么原函数两点坐标相减得到的就是导函数的面积 我只能理解不定积分是微分的逆运算 但他为什么能表示面积 或者我们用定义得知不定积分就是面积求和 那我就没办法理解他为什么是微分的逆运算 我没法明白面积到微积分的联系

追答

求面积就是求和式极限，你先不要把和式极限理解为定积分，就当成一种新运算好了，而这种新运算可以通过求原函数的函数值而得到，求原函数的运算是不定积分，所以这种新运算和不定积分有了联系，并且和原函数F(x)在a,b两点的函数值有关，而新运算是计算区间[a,b]上的和式极限，两者都和a,b有关，因此给这种新运算起个名字叫区间[a,b]上的定积分。

本回答被提问者和网友采纳