函数的连续性问题和偏导

Question

如题所述

Answer 1

因为 lim{x→0,y→0}f(x,y)=lim(x²+y²)sin[1/(x²+y²)]=0=f(0,0)，函数在 (0,0) 点连续；
导数不存在；
当 δ→0，一方面按导数定义 fx'=lim{f(0+δ,0)-f(0,0)=lim{f(δ,0)}=lim{δ²sin(1/δ²)}≤lim{δ²}=0；
但左右导数不存在：
fx'(x,0)=2x*sin(1/x²)+2x²[cos(1/x²)]*(-2/x³)=2xsin(1/x²)-(4/x)cos(1/x²)=-(4/x)cos(1/x²)
当 x→0，f'x(x,0)∈(-∞,+∞) 不确定；追问

什么啊，看不懂的，嘿

追答

函数连续这一点应该没问题了吧，因为当自变量趋于 0 时的函数值等于 f(0,0) 的值；
至于导数，按定义直接求 (0,0) 点的（偏）导数似乎等于 0，但你若你令导数的通用表达式（f'x(x,y) 或 f'y(x,y)）在 x→0、y→0 时取极限却没有定值（无极限），如此还能说导数存在吗？