因为 A^2=A, 所以A的特征值只能是0或1, 且有A(A-E) = 0.
所以r(A) + r(A-E) <= n
而r(A) + r(A-E) >= r(A-A+E) = r(E) = n
所以r(A) + r(A-E) = n。
所以 AX=0 的基础解系与 (A-E)X=0 的基础解系含(n-r(A)) + (n-r(A-E)) = n 个向量
这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化。
扩展资料
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说。
如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T ： V → V 被称为可对角化的，如果存在 V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理： 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。
参考资料：百度百科——可对角化矩阵
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 推荐于2018-01-19
一可逆矩阵A ， 满足A^2=A 为什么它可以对角化 ?
因为 A^2=A, 所以A的特征值只能是0或1, 且有A(A-E) = 0.
所以r(A) + r(A-E) <= n
而r(A) + r(A-E) >= r(A-A+E) = r(E) = n
所以r(A) + r(A-E) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (A-E)X=0 的基础解系含(n-r(A)) + (n-r(A-E)) = n 个向量
这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化.本回答被网友采纳
因为 A^2=A, 所以A的特征值只能是0或1, 且有A(A-E) = 0.
所以r(A) + r(A-E) <= n
而r(A) + r(A-E) >= r(A-A+E) = r(E) = n
所以r(A) + r(A-E) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (A-E)X=0 的基础解系含(n-r(A)) + (n-r(A-E)) = n 个向量
这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化.本回答被网友采纳
第2个回答 2018-01-19
如果A 可逆 ，A^2 = A 等价于 A = I （两边同乘以 A^-1) .老兄你第一句就错了
第3个回答 2017-12-15
因为 A^2=A, 所以A的特征值只能是0或1, 且有A(A-E) = 0.
所以r(A) + r(A-E) <= n
而r(A) + r(A-E) >= r(A-A+E) = r(E) = n
所以r(A) + r(A-E) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (A-E)X=0 的基础解系含(n-r(A)) + (n-r(A-E)) = n 个向量
这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化.
所以r(A) + r(A-E) <= n
而r(A) + r(A-E) >= r(A-A+E) = r(E) = n
所以r(A) + r(A-E) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (A-E)X=0 的基础解系含(n-r(A)) + (n-r(A-E)) = n 个向量
这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化.
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