设A=（4 2 2 2 4 2 2 2 4） 试求正交矩阵Q,使得QtAQ为对角...

Question

设A=（4 2 2 2 4 2 2 2 4） 试求正交矩阵Q,使得QtAQ为对角阵 急求 解答后追加分数 1设A=（4 2 2 2 4 2 2 2 4） 试求正交矩阵Q,使得QtAQ为对角阵 2 写出a对应的二次型f,并判定f的正定型

Answer 1

A为是对称矩阵，该题为基本高代题，随便一本资料或者教科书上都有大致的过程：
1）先求出A的特征值与相应的特征向量
2）特征向量正交化（斯密特正交化），单位化，（个人觉得这个正交方法很一般化，但算的过程不一定简单，还得记公式，个人不喜欢）
3）然后特征向量按列写，就是Q，对角阵就是按列写的特征向量对应的特征值
LZ可以这样弄（没做这一题，下面纯属方法）：
例如知道一个特征值
a1
对应的特征向量为1,2,2，那么何必取这个呢？直接取1/3，2/3，2/3不就省了单位化，然后对于另外一个特征值a2对应的特征向量（肯定与已经确定的正交，这是是对称矩阵的性质），那么根据
人E-A得到的矩阵（其实这个矩阵的解就是为了保证与先前的特征值对应的特征向量无关，由于A是正交矩阵，这里保证了正交）取一个单位向量（免得单位化），如果a2是2重的就再设他的一个特征向量为X1，X2，X3，跟先取的那个向量正交一个等式，然后满足
人E-A对应的等式，解出一个单位向量
一般来说3阶都是特征值2个，一个单根，一个两重（3个单根最简单，1个3重根最没意思，）
一般化的方法是前者列的1）2）3）

Answer 2

1、
设A的特征值为λ
则|A-λE|=
4-λ
2
2
2
4-λ
2
2
2
4-λ
第1行减去第2行
=
2-λ
λ-2
0
2
4-λ
2
2
2
4-λ
第2列加上第1列
=
2-λ
0
0
2
6-λ
2
2
4
4-λ
按第1行展开
=(2-λ)(λ^2-10λ+16)
=(2-λ)(2-λ)(8-λ)
解得λ=2,2,8
当λ=2时,
A-2E=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(1,0,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
当λ=8时,
A-6E=
-4
2
2
2
-4
2
2
2
-4
第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
0
-6
6
2
-4
2
0
6
-6
第1行加上第3行,第2行除以2,第3行除以6
0
0
0
1
-2
1
0
1
-1
第2行加上第3行×2,交换行数
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0
得到特征向量(1,1,1)^T
所以正交矩阵Q为
1
1
1
-1
1
1
0
-2
1
2、A对应的二次型
f=4x1²+4x2²+4x3²+4x1x2+4x1x3+4x2x3
三个特征值都是正数,所以A是正定的