第1个回答 2019-11-19
1、
设A的特征值为λ
则|A-λE|=
4-λ
2
2
2
4-λ
2
2
2
4-λ
第1行减去第2行
=
2-λ
λ-2
0
2
4-λ
2
2
2
4-λ
第2列加上第1列
=
2-λ
0
0
2
6-λ
2
2
4
4-λ
按第1行展开
=(2-λ)(λ^2-10λ+16)
=(2-λ)(2-λ)(8-λ)
解得λ=2,2,8
当λ=2时,
A-2E=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(1,0,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
当λ=8时,
A-6E=
-4
2
2
2
-4
2
2
2
-4
第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
0
-6
6
2
-4
2
0
6
-6
第1行加上第3行,第2行除以2,第3行除以6
0
0
0
1
-2
1
0
1
-1
第2行加上第3行×2,交换行数
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0
得到特征向量(1,1,1)^T
所以正交矩阵Q为
1
1
1
-1
1
1
0
-2
1
2、A对应的二次型
f=4x1²+4x2²+4x3²+4x1x2+4x1x3+4x2x3
三个特征值都是正数,所以A是正定的