怎样用微积分解决生活中的问题？

Question

如题所述

Answer 1

设一个圆锥形贮水池，深15m，口径20m, 盛满水，现用水泵将水吸尽，问要作多少功
解：画一圆锥的纵轴截面图；取锥口圆心作原点，圆锥轴线为y轴，方向朝下；x轴水平向右；
在距杯口y处取一厚度为dy的水层，设该水层的半径为x米，则由相似三角形可得x/(15-y)=10/15
化简得x=10-(2/3)y，那么这一薄水层的微体积dv=πx²dy，其重量为dG=ρgπx²dy，ρ是水的密度
ρ=1000千克/m³ï¼Œg=9.8m/s²ï¼ŒæŠŠè¿™ä¸€è–„水层提升至杯口需要的微功
dA=ρgπx²ydy=9800π[10-(2/3)y]²ydy=9800π[100y-(40/3)y²+(4/9)y³]dy
故将全部水提出所需的全功为A=[0，15]9800π∫[100y-(40/3)y²+(4/9)y³]dy
=9800π[50y²-(40/9)y³+(1/9)y⁴]︱[0，15]=9800π(11250-15000+5625]=9800π×1875
=18375000π(焦耳)=18375π(千焦耳).