如何证明矩阵A可逆？

Question

如题所述

Answer 1

证明：

A的行列式不等于0，而|E|=1,|P|,|Q|不等于0,所以|A|不等于0,A可逆，

A可逆充要条件是|A|不等于0.这里P，Q都是可逆的，所以A=P-1Q-1,A-1=QP。

因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积。

所以A可逆｜A｜≠0A的特征值都不等于0。

（当矩阵行列式不为零，就可以推出伴随阵来计算矩阵的解析式，既然都求出你阵逆阵了，原矩阵当然可逆。反过来，当原矩阵可逆时，A乘A的逆等于单位阵，两边取行列式，便得到行列式一定不为零。）

设M是n阶方阵，I是单位矩阵，如果存在一个数λ使得M－λI是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零），那么λ称为M的特征值。

扩展资料

矩阵可逆的必要条件：

|A|=0 的充分必要条件

<=> A不可逆 (又称奇异)

<=> A的列(行)向量组线性相关

<=> R(A)<n

<=> AX=0 有非零解

<=> A有特征值0。

<=> A不能表示成初等矩阵的乘积

<=> A的等价标准形不是单位矩阵|A|≠0的充分必要条件

<=> A可逆 (又非奇异)

<=> 存在同阶方阵B满足 AB = E (或 BA=E)

<=> R(A)=n<=> R(A*)=n

<=> |A*|≠0<=> A的列(行)向量组线性无关。

<=> AX=0 仅有零解<=> AX=b 有唯一解。

<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示。

<=> A可表示成初等矩阵的乘积。

<=> A的等价标准形是单位矩阵。

<=> A的行最简形是单位矩阵。

<=> A的特征值都不等于0。

<=> A^TA是正定矩阵。