概率论分布函数一道证明题

Question

如题所述

Answer 1

因为F是连续型随机变量的分布函数，所以F至少满足分段一阶连续可导，其导函数设为f(x)，那么f(x)是分段连续函数。

那么

注意图中红圈中的部分十分关键。其实红圈中相减的两部分都是随机变量X的均值，但是题目中没有说明均值是否存在，所以采用不定积分而不是定积分，然后整体在无穷处取极限即可消去。当然两个被积函数作差以后整体取定积分也是可以的，但是单独求定积分就需要前提，即均值存在，且|xf(x)|的积分绝对收敛。

现在要证明原来的等式，只要证明上图最后一行的第一项为0。

这时候考虑运用洛必达法则：

这时候因为f(x)在全实轴上的积分为1，即绝对可积，因此f(x)在x充分大的时候，收敛速度快于1/x（因为这个函数的积分不收敛），所以

（当x趋于∞的时候）。

下面采用一种不那么严谨的做法：

既然f(x)的收敛速度是快于1/x的，因此采用幂函数来进行近似替代：

其中C和p都是正数。

那么

所以

因为分母是高阶的无穷大量，因此比值的极限为0.

证毕。

【之所以说不严谨，是因为正数p不一定能找到，即p可能为无穷小量】