高数微积分基本定理题目？

Question

如图所示

Answer 1

如图所示：

1：换元后两边对x求导.

2：如果不想太动脑筋的话，推荐使用分部积分法. (不过交换次序的过程依然最短)

Answer 2

用交换积分次序与换元法来做

Answer 3

∫(0，x) f(2x–t)tdt①
令2x–t=u，t=2x–u
t=0时，u=2x
t=x时，u=x
所以①式=–∫(2x，x)(2x–u)f(u)du
=∫(x，2x) (2x–u)f(u)du
=2x∫(x，2x) f(u)du–∫(x，2x) uf(u)du=x²
两边求导得
2∫(x，2x) f(u)du＋2x[2f(2x)–f(x)]–[4xf(2x)–xf(x)]=2x
2∫(x，2x) f(u)du–2xf(x)＋xf(x)=2x
2∫(x，2x)f(u)du–xf(x)=2x
x=1时
2∫(1，2) f(u)du–f(1)=2
∫(1，2) f(u)du=[f(1)＋2]/2=2
所以∫(1，2) f(x)dx=2