如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证； （2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长； 法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长． 试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OD=OC， ∴∠DCB=∠ODC， 又∠DOB为△COD的外角， ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB， 又∵∠A=2∠DCB， ∴∠A=∠DOB， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠DOB+∠B=90°， ∴∠BDO=90°， ∴OD⊥AB， 又∵D在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线； （2）解法一： 过点O作OM⊥CD于点M，如图1， ∵OD=OE=BE= BO，∠BDO=90°， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OC， ∴∠DCB=∠ODC， 又∵∠DOB为△ODC的外角， ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB， ∴∠DCB=30°， ∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1， ∴OC=2OM=2， ∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4， ∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD= ； 解法二： 过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2， ∵OM⊥CD， ∴CM=DM，又O为EC的中点， ∴OM为△DCE的中位线，且OM=1， ∴DE=2OM=2， ∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1， ∴OC=2OM=2， ∵Rt△BDO中，OE=BE， ∴DE= BO， ∴BO=BE+OE=2OE=4， ∴OD=OE=2， 在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD= ． 考点: 1.切线的判定；2.含30度角的直角三角形；3.垂径定理；4圆周角定理.