求摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost）的一拱（0≤t≤2π）与y=0绕y轴所转成

Question

求摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost）的一拱（0≤t≤2π）与y=0绕y轴所转成图形的体积。

Answer 1

先画草图，再求积分，答案如图所示

Answer 2

摆线属于常用平面曲线，其图形可以先画出来，整个区域是一个曲边梯形，底边是区间[0,2πa]，曲边是摆线，所以图形的面积是一个定积分：S＝∫(0→2πa)
y
dx，把x＝a（t-sint），y=a（1-cost）代入，相当于对定积分使用了换元法：
S＝∫(0→2π)
a(1-cost)
d(a(t-sint))＝。。。。。＝3πa^2