高数～求由摆线x＝a（t-sint）,y=a(1-cost)的一拱(0≦t≦2π)与横轴所围成的图
高数～求由摆线x＝a（t-sint）,y=a(1-cost)的一拱(0≦t≦2π)与横轴所围成的图形面积
解题过程如下：
S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt
=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2
扩展资料
性质：
已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n）。
如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分。f(x)在区间[a,b]上可积。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式。
S=∫|y|dx
=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt
=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt
=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt
=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)
=3πa²
这个不是准确的图啦~~
只是一个示意图。大致的画法是这样：
先观察x=a(t-sint) 在t∈[0,2π]单调增，从而很容易得出x取值范围是[0,2πa]。
再看y=a(1-cost) 在t∈[0,2π]先增后减，分界点在t=π，在t=0和t=2π时，y的值都是0。
根据以上所说，就可以画出大致的图形啦，注意图形需要经过(0,0),(2πa,0)，且在x∈[0,2πa]是先上升再下降，即可。
至于图形还有个圆~可能是我画得不好吧。实际上应该不是圆。
有了前面的分析，套一下面积积分公式即可。
对了，才想起来我计算的是a>0的情况，若a<0，那么整个图形应该在中心对称的位置，不过不引入负面积的话，结果应该是一样的。