（高数）求不定积分递推公式

Question

如题所述

Answer 1

　　解：∵1=1+x^2-x^2，∴1/[(x^n)√(1+x^2)]=[√(1+x^2)]/(x^n)-1/[x^(n-2)√(1+x^2)],
　　∴In=∫√(1+x^2)dx/(x^n)-∫dx/[x^(n-2)√(1+x^2)]=∫√(1+x^2)dx/(x^n)-In-2。
　　而∫[(1+x^2)^(1/2]dx/(x^n)=[1/(1-n)][x^(1-n)]√(1+x^2)-[1/(1-n)]In-2，
　　∴In=[1/(1-n)][x^(1-n)]√(1+x^2)-[1/(1-n)]In-2-In-2，
　　∴In=[-1/(1-n)][√(1+x^2)/x^(n-1)-(n-2)In-2]。
　　供参考。