偏导数连续的定义

Question

如题所述

Answer 1

偏导数连续意思是指该函数的图像是一条连续的线。在定义域内,每一个值,在值域都有一个值对应。

“连续不一定有偏导,更不一定可微,有偏导不一定连续,也不一定可微,可微则偏导存在,有连续的偏导一定可微(充分条件)。

通过实例说明：

连续不一定偏导存在，偏导存在也不一定连续。

1、证明函数f（x，y）=在原点的连续性，但偏导数不存在。

证明：由=0=f（0，0），故f（x，y）=在点（0，0）连续.由偏导定义知：==1当x＞0-1当x＜0极限不存在.故f（x，y）在点（0，0）关于x的偏导数不存在，同理可证f（x，y）在点（0，0）关于y的偏导数也不存在。

2、证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不连续。

证明：由偏导定义得：f（x，y）==0，f（x，y）==0。

故f（x，y）在点（0，0）处偏导存在.取y=mx（m≠0），则f（x，y）=f（x，mx）。

故f（x，y）在点（0，0）处极限不存在，故不连续。

由此两例可知，对于二元函数而言，偏导存在和连续之间没有必然的联系。