2阶常系数非齐次线性微分方程求通解时的疑问

Question

上图中划红线的地方，为什么只能取0，1.而不能取2呢？
下面是我猜测的原因:
特征方程是2次的，是一个二次函数，二次函数的解有三种情况：1 ，一对共轭复根，2，2个相同的实根；3，两个不相同的根 。
而此处 λ+ωi 由于是复数，所以不会是3；那么只剩下1和2；当ω≠0时取得1，当ω=0时，取得2 ；
如此一来的话，第3中情况就不会出现，这样会不会漏解呢 ？
上述推导中的错误之处和不懂之处，敬请指教！

Answer 1

你好：

你说的“而此处 λ+ωi 由于是复数，所以不会是3；那么只剩下1和2；当ω≠0时取得1，当ω=0时，取得2 "这句话需要斟酌。应该认为不存在情况2。

当ω=0时，f(x)不再是e^λx*[p^l(x)*cosωx+p^n(x)*sinωx]型了，而是f(x)=e^λx*p^l(x)型了。因为cos0=1，sin0=0。

 

对于ω=0时，f(x)的这种类型，书上一般是作为一个单独的情况拿出来说的。此时的待定特解我们假设为y*=x^k*e^λx*q^m(x)。

这里的k是对应特征方程根λ的重数，二阶常系数微分方程时可以为2。

 

而你题目中的类型，λ+ωi书上一般默认是ω≠0的情况，区别于上面我们讲到的那种类型，所以k只能取0或者1。

 

这种方式不会漏解，你从推导的过程就能看出来。

微分方程有很多约定的东西，最简单的例子就是什么时候做积分要加常数项。我们就按这个去做就行了。如果对这方面感兴趣，你可以试着推一推其它一些常用结论，比如附图中的东西。不用去纠结k为什么不能取2这些的。

追问

看来也只能不去深究了，深了就搞不懂了。

追答

其实也不算深吧，就是说这时候对应的特征方程的根不会出现二重根，所以k不会取2。