抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点是F，A,B抛物线上互异两点，直线AB的斜率存在，线段AB的

Question

垂直平分线交x轴于点D（a，0）（a＞0），n＝AF的模加BF的模，则
A:p，n，a成等差数列
B:p，a，n成等差
C:p，a，n成等比
D:p，n，a成等比

Answer 1

∵A、B都在抛物线y^2＝2px上，
∴可设A、B的坐标分别为（A^2/（2p），A）、（B^2/（2p），B）。
∴AB的斜率＝（A－B）/［A^2/（2p）－B^2/（2p）］＝2p/（A＋B）。
　AB的中点坐标为（（A^2＋B^2）/（4p），（A＋B）/2）。
∴AB的垂直平分线方程为：
　y－（A＋B）/2＝－［（A＋B）/（2p）］［x－（A^2＋B^2）/（4p）］。······①
令①中的y＝0，得：1＝（1/p）［x－（A^2＋B^2）/（4p）］，
∴x/p＝1＋（A^2＋B^2）/（4p^2），∴x＝p＋（A^2＋B^2）/（4p）。
∴a＝p＋（A^2＋B^2）/（4p），∴2a＝2p＋（A^2＋B^2）/（2p）。

由抛物线y^2＝2px，得：抛物线的准线方程为x＝－p/2。
分别过A、B作x＝－p/2的垂线，垂足分别为C、D。
显然有：｜AC｜＝A^2/（2p）＋p/2、｜BD｜＝B^2/（2p）＋p/2，
∴｜AC｜＋｜BD｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p。

由抛物线定义，有：｜AF｜＝｜AC｜、｜BF｜＝｜BD｜，
∴｜AF｜＋｜BF｜＝｜AC｜＋｜BD｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p。
∴m＝｜向量AF｜＋｜向量BF｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p。

于是：p＋m＝p＋［（A^2＋B^2）/（2p）＋p］＝2p＋（A^2＋B^2）/（2p）＝2a，
∴a是p、m的等差中项。