21.如图,AB是00的直径,M是OA的中点,弦CD⊥AB于点M,过点D作DE⊥CA交CA的延长线？

Question

如题所述

Answer 1

（1）、如图一所示，连接OD。

图一

因为AB是圆O的直径，点M是OA的中点，CD⊥AB，

所以OA=OD，OA与CD互相垂直平分，有OD=AD，

所以OA=OD=AD，△OAD是等边三角形，可知∠OAD=60°。

（2）、如图二所示，连接OD。

图二

由题（1）可知OA与CD互相垂直平分，∠OAD=∠ODA=60°，

所以∠ACD=∠ADC=∠ODC=30°，

又因为DE⊥CA，在直角△CDE中算得∠CDE=60°，

所以∠ODE=∠ODC+∠CDE=30°+60°=90°，即DE与圆O相切。

（3）、如图三所示，连接OC、OF、CF、CN。

图三

由题（2）可知在∠ACD=30°的直角△CDE中，因为DE=3，

所以CD=6，AC=OC=2√3，因为AB垂直平分CD，所以CN=DN，

又因为∠CDF=45°，所以△CDN是等腰直角三角形，∠CND=90°，算得CN=DN=3√2，

由“同弦的圆心角是圆周角的2倍”可知∠COF=2∠CDF=90°，而OC=OF，

所以△COF是等腰直角三角形， 有OC=OF=2√3，CF=2√6，

则在直角△CFN中由勾股定理可算得FN=√(CF²-CN²)=√6。