设I=∫（1~0）e^(x^2) dx那么∫（1~0）∫（1~0）e^(x^2+y^2) dxdy=∫（1~0）e^(x^2) dx∫（1~0）e^(y^2) dy=I^2。
定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n）。
该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分。
并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
定积分的求值可以通过多种方法，包括使用基本积分公式、换元法、分部积分法、定积分的性质等。以下是其中一些常用的方法和公式：
基本积分公式：这是一组常见函数对应的积分公式。例如：
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中 n ≠ -1
∫e^x dx = e^x + C
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
换元法（代换法）：通过引入新的变量进行变换，将被积函数转化为更容易积分的形式。常见的换元法有：
代数换元法
三角换元法
指数换元法
对数换元法
分部积分法：用于将一个积分的乘积形式进行分解。公式为：
∫u dv = uv - ∫v du
定积分的性质：
∫[a,b] f(x) dx = -∫[b,a] f(x) dx（积分的反向性）
∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx（积分的线性性）
∫[a,b] kf(x) dx = k∫[a,b] f(x) dx（积分的标量乘法性）
若 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在 [a,b] 上 f(x)≥0，则 ∫[a,b] f(x) dx ≥ 0（定积分的非负性）
以上只是一些常见的方法和公式，实际上，定积分的求值可能需要结合具体的被积函数和积分区间，根据问题的要求选择适当的方法。对于复杂的函数或问题，有时候需要运用数值计算方法来近似求解定积分的值。