z变换的收敛域

Question

如题所述

Answer 1

z变换的存在充分必要条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有z值称为z变换域的收敛域。由z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列。
收敛域可用公式表示为：
（1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有
的收敛域是整个z平面；
（2）在收敛域内没有极点，x(z)在收敛域内每一点上都是解析函数。
（1）有限长序列
指序列只在有限长的区间内为非零值，即
显然|z|在整个开域
都能满足z变换存在条件，因此有限长序列的收敛域是除0及∞两个点（对应n>0和n<0不收敛）以外的整个z平面：
。如果对n1，n2加以一定的限制，如
或
，则根据条件
，收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域。
（2）右边序列
指序列
只在
有值，而
时，
，这时
，其收敛域为收敛半径
以外的z平面，即
。右边序列z变换可表示为：
（3）左边序列
指序列
只在
有值，而
时，
，这时，其收敛域为收敛半径
以内的z平面，即
。左边序列z变换可表示为：
（4）双边序列
可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列z变换收敛域的公共部分。双边序列z变换可表示为：
（如果
，则存在公共的收敛区间，
有收敛域：
如果
，无公共收敛区间，
无收敛域，不收敛。
）