函数的对称性怎么判断？

Question

题目是：已知定义在R上的增函数y=f(x)满足①f(x)=f(2-x);②x大于或等于0小于或等于1时，f(x)= x平方
问（1）求f（5点5）的值
（2）证明：x属于R时，f(x+2)=f(x)

答案点播时说 因为f（x)=f(x+2),所以y=f(x)的图像关于直线x=1对称！就这我不知道 是怎么回事！希望回答我的人除了告诉我答案外还专门在这里解释一下！
打错了！是
答案点播时说 因为f（x)=f(2-x),所以y=f(x)的图像关于直线x=1对称！就这我不知道 是怎么回事！希望回答我的人除了告诉我答案外还专门在这里解释一下！

Answer 1

首先告诉你f（x)=f(2-x)为什么关于一条直线对称
先忽略2不看 单看f（x)=f(-x)，这是一个偶函数，我们知道偶函数是关于y轴对称的，也就是说关于x=o对称。可以肯定f（x)=f(2-x)是关于一条直线对称的，即x=a对称，x关于a的对称点为2a-x，把这个点带入第2个式子里就是f(2-x)=f（2-2a+x）=f（x），2-2a=0，即a=1

Answer 2

f（x)=f(x+2), 对称轴x=(x+2-x)/2=1,
x和x+2关于对称轴对称表明到对称轴的距离相等，所以对称轴是x,x+2的终点

Answer 3

若函数f(-x)=-f(x)则是偶函数,关于y轴对称.若f(-x)=f(x),是奇函数,关于原点对称

Answer 4

设g(x)上一点(x,g(x))
其关于原点的对称点为(-x,-g(x))
该点在y=f(x)上
故-g(x)=f(-x)=-x-1/x
g(x)=x+1/x
补充：以上为一般做法，其实本题比较特殊，还可直接用函数奇偶性做。
显然y=f(x)为奇函数,奇函数图像关于原点对称，所以g(x)=f(x)

Answer 5

1）如果一函数关于轴x=t（t为常数）对称，则有f（x）=f（2t-x）或者f(x+t)=f(t-x)。
这个用解析几何来或者用代数来解释都很简单，也可以当作是证明。
一函数关于轴x=t（t为常数）对称，就是说作直线y=y（y为f(x)值域内任意常数），与f（x）相交两点a（a，y）和b（b，y），与x=t相交于c（t，y），则c为ab的中点。
可得a=2t-b，或者a+t=t-x。
由直线y=y在f(x)值域内的任意性，可知f（x）=f（2t-x）或者f(x+t)=f(t-x)。
一函数关于轴x=t（t为常数）对称，取任意一点p（x，f（x）），函数上必存在与其关于x=t的对称的点q（q，f（q）），即点（t，f（x））为pq的中点。用中点公式可得q=2t-x，f(q)=f(x)，即f（x）=f（2t-x）。由p点的任意性可知该式在定义区成立。
类似的取p（x+t，f（x+t）），同样道理可证明f(x+t)=f(t-x)。
2）若一函数f（x）关于点o（a，b）中心对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b或者f（a+x）+f(a-x)=2b。
任取p（x，f（x）），则必定可以在f（x）上找到点q（q，f（q））且o（a，b）为pq的中点。
q+x=2a
且f（q）+f（x）=2b，用x表示q，可得f（x）+f（2a-x）=2b。
类似设这个人任意点为p（x+a，f（x+a）），同样方法可得f（a+x）+f(a-x)=2b。
解析几何的方法和代数的方法其实是同一个本质，只是两种不同的哗辅糕恍蕹喝革桶宫垃叙述方法，只要理解透彻定义，加上一点代数的技巧或解析几何的直观，这类问题是很容易理解和证明的。