二元函数的极值及其判定（基础篇）

Question

如题所述

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

定义设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,点M0(x0,y0)(M∈D)的某一邻域在D内有定义,对于该邻域内异于M0的任何点(x,y),如果

   f(x,y)> f(xo,yo),

则称点Mo(x,yo)是函数z=f(x,y)的一个极小值点,称f(x0,yo)为函数z=f(x,y)的一个极小值.如果

 f(x,y)< f(xo, yo),

则称点Mo(xo,yo)是函数z=f(x,y)的一个极大值点,称f(xo,yo)为函数z=f(x,y)的一个极大值.

极小值点和极大值点统称极值点;极小值和极大值统称极值

显然,如果二元函数z=f(x,y)在点(xo，yo)取得极值,则一元函数z=f(x,yo)在点x取得极值,一元函数z=f(xo,y)在点yo取得极值,此得到极值点的必要条件

定理1(必要条件)设二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值,且fx(xo,yo)，fy(o,yo)存

在,则     fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0.

称两个偏导数都为0的点为二元函数z=f(x,y)的驻点,驻点不一定就是极值点

(充分条件)设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令

则(1)当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点.且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值点;

(2)当△>0时,点Mo(x0,y)不是极值点;

(3)当△=0时,Mo(x,yo)可能是极值点,也可能不是极值点,需另作讨论