求微分方程yy''-(y')^2=0的通解

Question

如题所述

Answer 1

微分方程yy''-(y')^2=0的通解解法如下：

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。例如：

其通解为：

扩展资料

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解（general solution）。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解

参考资料：百度百科通解

Answer 2

微分方程yy''-(y')^2=0的通解
解：
令y'=p,then  y''=p(dp/dy)
so. yp(dp/dy)-p^2=0
so. dp/p=dy/y(if p isn't 0)
so . y'=C1y
so .ln y=C1x+ln C2
so .y=C2e^(C1x)
if .p=0,then y=C

扩展资料：

含义：含有未知函数的导数，如的方程都是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解（general solution）。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解

定义式：f(x,y',y'',…``…y(n))=0

参考资料：

百度百科-微分方程

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Answer 3

解 令u=y' 即u=dy/dx (这个如果不知道，说明你微分还不会)
y"=du/dx=u×du/dy(这一步很关键,这个不会后面就别看了)
原式改写为 y×u'＝u²接着用到可分离变量方法(这个不会说明你常微分方程没学好)
y×u×du/dy＝u²
(1/u)du＝(1/y)dy
因为∫(1/x)dx＝ln|x|+c(c为任意常数，这一步要求你知道这个柿子，要是不会说明你不定积分没学好)
两侧同时积分得ln|u|+c1＝ln|y| +c2
常数c1,c2合并,左右两侧对数号合并
则 ln|u/y|＝C
那么 |u/y|＝e^C(e的C次方)
u/y＝±e^C (发现右边这柿子是一个非0常数)不妨设它为c,由于y＝0是该微分方程的一个特解(这个不知道说明你常微分方程没学好)，那么u＝0是允许的，那么c＝0也是可以的，所以c代表包括0的任意常数
那么 u＝cy
而u＝y'＝dy/dx
则dy/dx＝cy
(1/y)dy＝cdx
由于∫(1/y)dy＝ln|y|＋c1 ∫cdx＝cx＋c2(c1，c2属于R)
两侧同时积分 并且把常数c1c2合并，记为c1
所以 ln|y|＝cx+c1
y＝±e^(cx+c1)
因为±e^(cx+c1)＝±e^c1×e^cx
又±e^c1可以记为常数c1(c1可以为0)所以还可以化简
y＝c1e^cx
参考答案一般写的是
y＝e(c1x＋c2)
两者之间等价

同学祝你成功，加油！

Answer 4

追问

最后答案是这个，和你的不一样

追答

一样的 指数运算不会？
C3=e^(C2)

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Answer 5

课本例题