2个重要极限的问题?

当x→0,ln(1+x)~x
那么当x→0,ln(1+e^x)~e^x
但这就是ln2~1
我觉得重要极限应该是在x对应的位置上出现任何f(x)都能直接替换出去,就是ln[1+f(x)]~f(x),难道不是这样?

你所说的 ln[1+f(x)]~f(x) 是当 f(x) 趋近于 0 时,对数函数 ln[1+f(x)] 的渐近展开式,也被称为 ln 的一阶泰勒展开式。因此,当 f(x) 趋近于 0 时,ln[1+f(x)] 可以近似等于 f(x)。

然而,当 x 趋近于 0 时,f(x) 不一定等于 x。在题目中,我们有 ln(1+x)~x,这是因为当 x 趋近于 0 时,x 是 ln(1+x) 的一阶泰勒展开式,也即 ln(1+x) 可以近似等于 x。但是,当我们将 x 替换成 e^x 时,就不能再使用 ln(1+x)~x 的近似了。此时,我们需要使用 ln(1+e^x) 的泰勒展开式:

ln(1+e^x) = e^x - (1/2)e^(2x) + (1/3)e^(3x) - ...

当 x 趋近于 0 时,e^x 趋近于 1,因此上式可以近似为:

ln(1+e^x)~e^x

这个近似式的精度比 ln[1+f(x)]~f(x) 要低,只有在 x 趋近于 0 时才能使用。因此,当我们将 x 替换成 e^x 时,可以使用 ln(1+e^x)~e^x 的近似式,但这并不意味着我们可以将 ln(1+e^x) 写成 e^x 的形式并直接计算其值。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  2022-03-31
当x→0,ln(1+x)~x那么当x→0,ln(1+e^x)~e^x但这就是ln2~1我觉得重要极限应该是在x对应的位置上出现任何f(x)都能直接替换出去,就是ln[1+f(x)]~f(x),难道不是这样?

这个理解不全面,你少了一个条件,就是x→0这个条件,没有这个条件就是错的,比如ln(1+e^x)~e^x 的前提是e^x→0,而不是x→0,所以结论ln2~1是错的。后面的一般结论ln[1+f(x)]~f(x)的前提是f(x)→0,而不是x→0。记住这个就什么都明白了。
第2个回答  2022-03-27

事实上您列举的第二种情况不能成立。

极限为非零实数时,只需要求出极限即可。

只有当极限为零(无穷小)或者无穷大时,才会寻找等价无穷小或者等价无穷大。

详情如图所示:

供参考,请笑纳。

第3个回答  2022-03-26

朋友,您好!详细过程如图rt,希望能帮到你解决问题

第4个回答  2022-06-21

因为y=sinxx为偶函数,所以只需考虑一侧即可在单位圆中可得当0<x<π/2时,0<sinx<x<tanx。

同除sinx得,1<x/sinx<1/cosx即得cox<sinx/x<1两边分别以x趋向于0取极限左边的极限为1,右边是常数的极限为本身1。

生与发展:

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”,他们避免明显地人为“取极限”,而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法的证明。如此,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。