问关于两个重要极限的问题，大一数学

Question

第二个重要极限 lim (1+1/n)^n = e n→∞，如果n在此时不是趋近于无穷而是趋近于0会怎么，具体问两个问题把，第一个就是把第二个重要极限的n→无穷变成n→0会是什么，第二个lim(1+2x)^(1/x+3)，n→0，后面的次方是X分之1加3次方，3是常数不在分母上，这两个问题都牵扯达到了第二个重要极限n→0的情况，在此求助
还有3个填空一起补充了把，全部是n→0，lim(1+x)^(1/x),lim(1-2x)^(1/x),lim(1+x/2)^(4/x)第三个1是常数不跟分子，感觉这种题一旦出现n→0我就不会，一个盲点，在此求助

Answer 1

首先，第二重要极限的形式是1^∞型，也就是底的极限为1，幂的极限为∞，满足这个条件才能用这个公式，如果n→0，那1+1/n就趋于∞，而幂趋于0，任何数的0次方都等于1，这个极限就等于0了，第二个问题你把幂的和拆开就变成了（1+2x)^1/x*(1+2x)^(1/2x*2), 1+2x→1，1/x→∞，1的任何次方还是1，（1+2x)^(1/2x*2)就满足第二重要极限追问

这有几个这样的问题，我解了其中一个感觉不对，我说一下把，以下全部n→0，lim(1+x)^(1/x)=，lim(1-2x)^(1/x)（这个我做了是e^-2，感觉不对因为我做的时候看成n→无穷了）lim(1+x/2)^(4/x)这个题的1是常数没跟分子在一起，这三个题感觉都是我的一个盲点，做这种题感觉我只会n→无穷的，而这3个都是n→0的

追答

关键是你搞清楚第二重要极限的应用条件，我刚才已经说了，用第二极限必须满足底的极限为1，幂的极限为无穷大，无论n趋于0还是无穷大，只要把n带入，底和幂的极限满足1和无穷大，就能用这个公式，这三个都满足，只是你算错了，第二个幂乘-2后还应再乘-1/2才和原式相等，所以结果应为e^-1/2,第三个用同样方法，加我QQ1297589625详细给你说

Answer 2

作对数恒等变换看看
n→0
lim (1+1/n)^n = e^lim n·ln(1+1/n)
= e^lim ln(1+1/n) / (1/n)
令t=1/n，则原式
=lim t→∞ e^lim ln(1+t) / t
=lim t→∞ e^lim 1/(1+t) 【洛比达法则】
=e^0
=1

lim(1+2x)^(1/x+3)
=e^lim (1/x+3)·ln(1+2x)
=e^lim (1/x+3)·(2x)【等价无穷小代换】
=e^lim (2+6x)
=e^2追问

洛必达法则我没记错的是无穷比无穷的时候求导求极限是吧，但是我们还没学，下面还有2个这样的填空都要用这个法则吗，lim(1-2x)^(1/x)，lim(1+x/2)^(4/x)都是n趋近于0，第二个1是常数没跟分子走。大学很多东西靠自学，但是我们高数两天课连在一起，所以今天的作业只能求助了。

追答

这要用到等价无穷小代换了。其思想与那个lim(1+2x)^(1/x+3) 是一样的。

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Answer 3

解：对自然常数e的考察e=lim(1+1/n)n
本题(1-1/n)n+1={[1+1/(-n)]-n}-1*(1-1/n)
所以lim=e-1*1=1/e

Answer 4

有点难度

Answer 5

哥们你大一,我以为你大班,这题我也无能为力,骚瑞啊