如图,在RT三角形ABC中,角C=90,点D为AB中点,E,F分别为边BC和边AC上两点，且角EDF=90

Question

（1）求证：AF^2+BE^2=EF^2
(2)若BE=5，AF=12，求EF的长

Answer 1

证明：⑴延长ED到点G，使GD＝DE，连接FG

则FG＝FE；

在△ADG和△BDE中

AD＝BD

∠ADG＝∠BDE

DG＝DE

∴△ADG和△BDE﹙SAS﹚

∴AG＝BE，∠DAG＝∠B，

又∠C＝90º，

∴∠B＋∠BAC＝90º，

∴∠DAG＋∠BAC＝90º，

即∠GAF＝90º，

∴FG²＝AG²＋AF²；

∴EF²＝BE²＋AF²。

⑵当BE＝5，AF＝12时，

由⑴EF²＝BE²＋AF²。

得EF²＝5²＋12²＝13²，

∴EF＝13。

按角分

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

Answer 2

如图，

证明：⑴延长ED到点G，使GD＝DE，连接FG，

则FG＝FE；

在△ADG和△BDE中

AD＝BD

∠ADG＝∠BDE

DG＝DE

∴△ADG和△BDE﹙SAS﹚

∴AG＝BE，∠DAG＝∠B，

又∠C＝90º，

∴∠B＋∠BAC＝90º，

∴∠DAG＋∠BAC＝90º，

即∠GAF＝90º，

∴FG²＝AG²＋AF²；

∴EF²＝BE²＋AF²。

⑵当BE＝5，AF＝12时，

由⑴EF²＝BE²＋AF²。

得EF²＝5²＋12²＝13²，

∴EF＝13。

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Answer 3

（1）∠C=90°，又D为AB中点，勾股定理可得到AD=CD，所以∠A=∠DCF，可证明三角形ADF和三角形CDF全等，所以AF=CF，∠DFA= ∠ CFD=∠C=90°，可以得到DF∥BC，所以∠DFE=∠CEF，又因为∠EDF=∠C=90°，则可证明三角形EDF和三角形CEF全等，所以CE=DF，又由三角形AFD和三角形ABC相似，DF=0.5BC，所以CE=0.5BC，所以AF^2+BE^2=CF^2+CE^2=EF^2
（2）勾股定理得到，EF=13， 12，5，13是一组勾股数

第一问的关键是证明E和F都是中点，第二问则较容易，写了不少，望采纳

针对你的回答，D为AB中点，连接CD，ABC是RT三角形，根据勾股定理，AD=CD=BD,角A=角ACD（三角形等边对等角），可以证明ADF和CDF两三角形全等。