求这道高数题的特解

Question

跪求了

Answer 1

x(dy+dx)/dx+sin(x+y)=0;xd(x+y)/dx=-sin(x+y);d(x+y)/sin(x+y)=-dx/x;积分之得：ln[csc(x+y)-cot(x+y)]=-lnx+lnc=ln(c/x)故得通解 csc(x+y)-cot(x+y)=c/x；代入初始条件 x=π/2，y=0，得c=2/π;故特解为： csc(x+y)-cot(x+y)=2/(πx);或写成：[1-cos(x+y)]=2sin(x+y)/(πx)。

高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。

通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。

通常认为，高等数学是由17世纪后微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。相对于初等数学和中等数学而言，学的数学较难，属于大学教程，因此常称“高等数学”，在课本常称“微积分”，理工科的不同专业。

文史科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：线性代数（数学专业学高等代数），概率论与数理统计（有些数学专业分开学）。

Answer 2

求 微分方程 xdy/dx+x+sin(x+y)=0满足y(π/2)=0的特解；
解：x(dy+dx)/dx+sin(x+y)=0;
xd(x+y)/dx=-sin(x+y);

d(x+y)/sin(x+y)=-dx/x;
积分之得：ln[csc(x+y)-cot(x+y)]=-lnx+lnc=ln(c/x)
故得通解 csc(x+y)-cot(x+y)=c/x；
代入初始条件 x=π/2，y=0，得c=2/π;
故特解为： csc(x+y)-cot(x+y)=2/(πx);
或写成：[1-cos(x+y)]=2sin(x+y)/(πx);

Answer 3

如图所示。变量代换法。

Answer 4

齐次方程 y''-8y'+16y=0的特征方程 r²-8r+16=(r-4)²=0有重根r₁=r₂=4;
因此齐次方程的通解为：y=(c₁+c₂x)e^(4x)；
不难求得方程y''-8y'+16y=x的特解 ： y₁*=(1/16)x+(1/32)；
设方程y''-8y'+16y=e^(4x)...........①的特解：y₂*=ax²e^(4x)...........②；
y₂*'=2axe^(4x)+4ax²e^(4x)=(2ax+4ax²)e^(4x)............③;
y₂*''=(2a+8ax)e^(4x)+4(2ax+4ax²)e^(4x)=(2a+16ax+16ax²)e^(4x)..........④；
将②③④代入①式并消去e^(4x)得：
(2a+16ax+16ax²)-8(2ax+4ax²)+16ax²=2a=1；∴a=1/2；
即方程①的特解y₂*=(1/2)x²e^(4x)；
∴ 原方程的特解：y*=y₁*+y₂*=(1/16)x+(1/32)+(1/2)x²e^(4x);
原方程的通解：y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(4x)+(1/16)x+(1/32);