高数 求特解

Question

如题所述

Answer 1

【分析】
可降阶的高阶微分方程
方程类型如果是不显含x的二阶方程 y'' = f(y，y')
令y' = p，把p看做y的函数，则y'' = dp/dx = dp/dy ·dy/dx = p dp/dy ，把y',y''的表达式带入原方程，
得dp/dx = 1/p f(y，p) —— 一阶方程，设其解为 p = g(y，C1），
即dy/dx = g(y，C1），则原方程的通解 为 ∫ dy / g(y，C1） = x+C2

一阶贝努利方程 y' + F(x)y = G(x)y^n ，其中n≠0，1 令z=y^(1-n)，
则方程 → dz/dx + (1-n)F(x)z = (1-n)G(x) ，属于一阶线性方程。

一阶线性方程 y' + F(x)y = G(x) ，用常数变易法求
1、求对应齐次线性方程y' + F(x)y = 0 的通解 y=Ce^(-∫F(x)dx)
2、令原方程的解为 y=C(x)e^(-∫F(x)dx)
3、带入原方程整理得 C(x) = ∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C
4、原方程通解 y = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx)

【解答】

令 y' = p y '' = pdp/dy ，带入方程得
pdp/dy= -1/y^3 即，p dp = -1/y^3 dy ，可分离变量方程，两边同时积分即可。
p² = 1/y² + C
x =1 ，y=1 ，y'(1)=0=p 得 C = -1
p = √（1/y² - 1）
即dy/dx = g(y，C1） dy/dx = √（1/y² - 1）
则原方程的通解 为 ∫ dy / √（1/y² - 1） = x+C
即 y² = -x² + C1x+C2，带x=1，y=1，y'=0 得C1=2，C2=0
y² = -x² + 2x

newmanhero 2015年2月4日22:13:44

希望对你有所帮助，望采纳。追问

最后的积分怎么算的？

追答

∫ dy / √（1/y² - 1） = ∫ ydy /√(1-y²） = -1/2∫ d(1-y²)/√(1-y²），直接套公式
= -√(1-y²）+C

Answer 2

x=1时：y=1，p=0，得到C=-1
再求解：p^2 = 1/y^2 - 1
化为：y' = 根号(1-y^2) / y
积分，- 根号(1-y^2) = x + C
由初值确定常数C=-1，
平方，整理，得到所给的结果。
供参考。