矩阵对角线上的和等于特征值之和

这说法对吗？或者说什么时候等？有什么类似的性质吗？

推荐答案推荐于2016-12-01

对。矩阵对角线上的值之和称为矩阵的“迹”，记作tr(A)

可以证明，任何两个相似的矩阵，其"迹"相等。
相似矩阵的特征值是一样的，所以A的特征值可以等于某个上三角矩阵的特征值。上三角矩阵的迹就是其特征值之和，所以A的迹也等于其特征值之和

证明过程比较复杂，如果您需要我可以写上来。

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第1个回答 2019-02-08

写出行列式|λe-a|
根据定义,行列式是不同行不同列的项的乘积之和
要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积
（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)
所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)
而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)
所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn

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