解题过程如下图：
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
扩展资料
泰勒公式（Taylor's formula）
形式1:带Peano余项的Taylor公式：
若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
(可以反复使用L'Hospital法则来推导)
形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：
若 函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续 导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，
Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。
（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）
如何用泰勒公式求极限值？
在数学的广阔领域中，极限是一个至关重要的概念，在许多分支如微积分、实分析等都有着举足轻重的地位。而在解决涉及极限问题的过程中，泰勒公式无疑是一种极为强大且实用的工具。
首先，我们需要明确什么是泰勒公式以及其基本原理。泰勒公式是表达式函数的一种近似方法，它以给定点为中心展开成无穷级数的形式。具体而言，若一函数在其某点a处具有n阶导数值，则该函数可以表示为一个关于（x-a）的多项式的叠加，即泰勒公式。换言之，我们将一个复杂的函数通过逼近的方式转化为一个多项式来进行研究，大大简化了计算过程。
接下来让我们进一步阐述如何利用泰勒公式来求解极限问题。通常情况下，我们遇到的极限问题是寻求某个变量趋于某一特定值时，原表达式的极限值是多少。此时我们可以考虑使用泰勒公式对原表达式进行近似替换，即将原表达式中的部分或全部项替换为其对应的泰勒展开式，并通过对新表达式的运算得出结果。
为了更好地理解这一概念，下面我们以具体的例子来进行说明：
例：试求当x趋近于0时，sin(x)/x的极限值。
解析：根据泰勒公式的相关知识我们知道，对于任意正整数n，有 sin(x) = Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)! ，其中Σ表示求和符号，k取自0到n。于是我们先将sin(x)用它的泰勒公式展开式代入原表达式得到：
sin(x) / x = [Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)!] / x
接着继续化简上述表达式，因为题目要求的是x趋向于0的情况，所以除以x之后，只有当指数为奇数的时候才会留下非零项；并且由于分母都是大于等于1的正整数，因此可以直接忽略掉所有偶数项。这样我们就得到了一个新的表达式：
sin(x) / x ≈ Σ (-1)^(k) * ((x^(2k-1)) / (2k-1)!) （其中k取奇数）
最后再结合几何级数的知识可知，当x→0时，上式的结果应当为1/2π。这就完成了我们的证明过程。
综上所述，借助泰勒公式展开法不失为一种高效快捷地解决极限问题的有效手段。当然值得注意的是，这种方法并非万能钥匙，在面对某些特殊类型的极