麦克劳林级数的推导过程是怎样的？

Question

如题所述

Answer 1

先对f(z)=cosz求n阶导，
一阶导：f'(z)=-sinz=cos(z+1*π/2);
二阶导：f''(z)=-cosz=cos(z+2*π/2);
三阶导：f'''(z)=sinz=cos(z+3*π/2);
四阶导：f(4)(z)=cosz=cos(z+4*π/2);
… ;
故可以看出n阶导:f(n)(z)=cos(z+n*π/2).
再根据泰勒级数中的公式：
f(z)=∑(∞,n=0)Cn*(z-z0)^n
=∑(∞,n=0)[(f(n)(z)|z=z0)/n!]*(z-z0)^n
由于你没给出在何处展开，这里默认为麦克劳林级数展开，
即z0=0(在z=0处展开)。
故
Cn=(f(n)(z)|z=z0)/n!
=(f(n)(z)|z=0)/n!
=cos(0+n*π/2)/n!
=cos(n*π/2)/n!
故
f(z)=cosz的麦克劳林级数为(泰勒级数在z=0处)
f(z)=cosz
=∑(∞,n=0)[cos(n*π/2)/n!]*z^n=1/0!*z^0+0/1!*z^1+(-1)/2!*z^2+0/3!*z^3+1/4!*z^4+0/5!*z^5+(-1)/6!*z^6+…
=∑(∞,n=0)[(-1)^n/(2n)!]*z^(2n)=1-1/2!*z^2+1/4!*z^4+…+[(-1)^n/(2n)!]*z^(2n).
补充:
同理还可以推出，
f(z)=sinz
=∑(∞,n=0)[(-1)^n/(2n+1)!]*z^(2n+1)
=z-1/3!*z^3+1/5!*z^5+…+[(-1)^n/(2n+1)!]*z^(2n+1).