设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+

Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=(√21)/7,O为坐标原点 (1)求椭圆C的方程； (2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明，点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值

Answer 1

解:
由已知得: e=c/a=1/2 -----(1)
由于右焦点(c,0)到直线bx+ay-ab=0的距离d=(√21)/7
则有：d=(√21)/7=|bc-ab|/[√(a^2+b^2)] -----(2)
又：a^2=b^2+c^2 ----(3)
联立(1)(2)(3)得：a^2=4,b^2=3
则椭圆C：x^2/4+y^2/3=1

设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
[1]k存在时，联立AB与C得：
3x^2+4(kx+m)^2=12
(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
则:x1+x2=-8km/(3+4k^2)
x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
且判别式:(8km)^2-4(3+4k^2)(4m^2-12)>0

由于：OA垂直OB
则：向量OA*向量OB=0
即：x1x2+y1y2=0
又：y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
则：(1+k^2)x1x2+km(x1+x2)+m^2=0
代入化简得：m^2=(12/7)(k^2+1)

点O(0,0)到AB距离
d'=|m|/√[1+k^2]
由于：(d')^2=m^2/(1+k^2)=12/7
则：d'=(2√21)/7
[2]k不存在时，也可得到d'=2√21/7
故点O到直线AB的距离为定值(2√21)/7

|AB|
=[√(1+k^2)]*|x1-x2|
=[√(1+k^2)]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=[√(1+k^2)]*√[(8km)^2/(3+4k^2)^2-4(4m^2-12)/(3+4k^2)]
=[√(1+k^2)]*√[(12k^2+9-3m^2)/(3+4k^2)^2]
=[√(1+k^2)]*√(48/7)*√[(16k^2+9)/(3+4k^2)^2]
=√(48/7)*√[(1+k^2)(16k^2+9)/(3+4k^2)^2]
=√(48/7)*√[(16k^4+25k^2+9)/(16k^4+24k^2+9]
=√(48/7)*√[1+ (k^2)/(16k^4+24k^2+9)]
=√(48/7)*√{1+ 1/[16k^2+24+(9/k^2)]}
由于：k^2>0
则由均值不等式得：16k^2+9/k^2>=2*√[(16k^2)*(9/k^2)]=24
故：1/[16k^2+24+(9/k^2)] >=1/(24+24)=1/48
则：|AB|>=√(48/7)*√[1+ 1/48]=√7
故AB长度的最小值为√7