设p(x),q(x),f(x)均是x的连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是二阶非齐次线性微分方程y″

Question

设p（x），q（x），f（x）均是x的连续函数，y1（x），y2（x），y3（x）是二阶非齐次线性微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是（　　）
A．C1y1（x）+（C1-C2）y2（x）+（1-C2）y3（x）
B．（C1-C2）y1（x）+（C2-1）y2（x）+（1-C1）y3（x）
C．（C1+C2）y1（x）+（C1-C2）y2（x）+（1-C1）y3（x）
D．C1y1（x）+C2y2（x）+（1-C1-C2）y3（x）

求解为什么能确定 y3是原方程的一个特解

Answer 1

∵y₁（x），y₂（x），y₃（x）是二阶非齐次线性微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的三个线性无关解
∴y₁（x）-y₂（x），y₂（x）-y₃（x）；y₁（x）-y₃（x），y₂（x）-y₃（x）；y₁（x）-y₂（x），y₁（x）-y₃（x）；
是对应齐次的三组两个线性无关的解
∴对应齐次的通解就可以表示成：
①选项A．由于C₁y₁（x）+（C₁-C₂）y₂（x）+（1-C₂）y₃（x）=C₁[y₁（x）+y₂（x）]-C₂[y₂（x）+y₃（x）]+y₃（x）
而y₁（x）+y₂（x）和y₂（x）+y₃（x）都不是齐次的解
故选项A错误．
②选项B．由于（C₁-C₂）y₁（x）+（C₂-1）y₂（x）+（1-C₁）y₃（x）=C₁[y₁（x）-y₃（x）]-C₂[y₁（x）-y₂（x）]-[y₃（x）-y₂（x）]
而y₁（x）-y₃（x）、y₁（x）-y₂（x）、y₃（x）-y₂（x）都是齐次的解，且只有两个任意常数
故选项B正确
③选项C．由于（C₁+C₂）y₁（x）+（C₁-C₂）y₂（x）+（1-C₁）y₃（x）=C₁[y₁（x）+y₂（x）-y₃（x）]+C₂[y₁（x）-y₂（x）]+y₃（x）
而y₁（x）+y₂（x）-y₃（x）、y₃（x）都不是齐次的解
故选项C错误．
④选项D．由于C₁y₁（x）+C₂y₂（x）+（1-C₁-C₂）y₃（x）=C₁[y₁（x）-y₃（x）]+C₂[y₂（x）-y₃（x）]+y₃（x）
而y₁（x）-y₃（x）、y₂（x）-y₃（x）都是齐次的解，但y₃（x）不是齐次的解
故选项D错误
故选：B．本回答被网友采纳