高等数学，数列极限的存在性问题，方法四：单调法，为什么a1≥a2，依然得到的是f'(x)≥0？

Question

类型1：数列存在递推关系：a(n+1)=f(an)
令y=f(x)，若f'(x)≥0，则数列｛an｝单调。
为什么如果这个数列是一个递减数列（a1≥a2），f'(x)依然是≥0的？

Answer 1

这个结论的正确性是基于函数单调性的原理。
如果函数f(x)的导数f'(x)大于等于0，则f(x)在x处单调递增。
因此，如果数列{a(n)}存在递推关系a(n+1)=f(a(n))，并且函数f(x)的导数f'(x)大于等于0，则数列{a(n)}必定单调递增。
同样的，如果函数f(x)的导数f'(x)小于等于0，则f(x)在x处单调递减。
因此，如果数列{a(n)}存在递推关系a(n+1)=f(a(n))，并且函数f(x)的导数f'(x)小于等于0，则数列{a(n)}必定单调递减。
而对于数列{a(n)}来说，其中的每一项a(n
)都是函数f(x)的某一个自变量x的值。因此，当f'(x)大于等于0时，对于任意的x1和x2（其中x1<x2），都有f(x1)<=f(x2)。如果将这个结论应用到数列{a(n)}中，则可以得出结论：当f'(x)大于等于0时，对于任意的n1和n2（其中n1<n2），都有a(n1)<=a(n2)。也就是说，当f'(x)大于等于0时，数列{a(n)}必定单调递增。
所以，如果数列{a(n)}是一个递减数列
（a(1)>=a(2)），即使f'(x)依然是>=0，数列{a(n)}也不会单调递增，而是会单调递减。
这是因为，数列{a(n)}的单调性取决于递推关系a(n+1)=f(a(n))和函数f(x)的单调性，而不取决于数列{a(n)}的初始值。所以，即使数列{a(n)}的初始值是递减的，数列{a(n)}仍然会单调递减，只要函数f(x)的导数f'(x)小于等于0即可。
所以，结论是正确的。追问

我的头好晕啊，“因此，如果数列{a(n)}存在递推关系a(n+1)=f(a(n))，并且函数f(x)的导数f'(x)小于等于0，则数列{a(n)}必定单调递减。”这里，我突然想到，假如a(n+1)=-an，然后a1=1，这样的话这就是一个既不增也不减的数列了？然后似乎常见的单调递减的数列递推关系，有这样几个：a(n+1)=a(n)-C，C为常数；a(n+1)=k·a(n)，k为小于1的常数；这两种情况求导的话，导数分别为“1”和“k”，确实都是大于0的