求齐次线性方程组的基础解系及通解

Question

如题所述

Answer 1

注意我化简的流程和最后取k的方法，基础解系个数为:未知数个数-秩

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Answer 2

增广矩阵化最简行

1    -1    -1    1    0    

1    -1    1    -3    1    

1    -1    -2    3    -12    

第3行, 减去第1行×1

1    -1    -1    1    0    

1    -1    1    -3    1    

0    0    -1    2    -12    

第2行, 减去第1行×1

1    -1    -1    1    0    

0    0    2    -4    1    

0    0    -1    2    -12    

第3行, 减去第2行×(-12)

1    -1    -1    1    0    

0    0    2    -4    1    

0    0    0    0    0    

第2行, 提取公因子2

1    -1    -1    1    0    

0    0    1    -2    12    

0    0    0    0    0    

第1行, 加上第2行×1

1    -1    0    -1    12    

0    0    1    -2    12    

0    0    0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    -1    0    -1    12    0    0    

0    1    0    0    0    1    0    

0    0    1    -2    12    0    0    

0    0    0    1    0    0    1    

第1行,第3行, 加上第4行×1,2

1    -1    0    0    12    0    1    

0    1    0    0    0    1    0    

0    0    1    0    12    0    2    

0    0    0    1    0    0    1    

第1行, 加上第2行×1

1    0    0    0    12    1    1    

0    1    0    0    0    1    0    

0    0    1    0    12    0    2    

0    0    0    1    0    0    1    

得到特解(12,0,12,0)T基础解系：(1,1,0,0)T(1,0,2,1)T因此通解是(12,0,12,0)T + C1(1,1,0,0)T + C2(1,0,2,1)T    

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Answer 3

Answer 4

写出系数矩阵为
1 -1 5 -1 1
1 1 -2 3 -1
3 -1 8 1 2
1 3 -9 7 -3 r4-r2,r2-r1,r3-3r1,
~
1 -1 5 -1 1
0 2 -7 4 -2
0 2 -7 4 -1
0 2 -7 4 -2 r4-r2,r3-r2
~
1 -1 5 -1 1
0 2 -7 4 -2
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 r1-r3,r2+2r3
~
1 -1 5 -1 0
0 2 -7 4 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 r2/2,r1+r2
~
1 0 3/2 1 0
0 1 -7/2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
秩为3，于是有5-3=2个解向量
得到通解c1*(-3/2,7/2,1,0)^T+c2*(-1,-2,0,1)^T，c1c2为常数